2ª AULA DO 2º BIMESTRE

Situações Problemas Sobre Funções

         Nesta aula vamos aprender a modelar alguns problemas com a função polinomial do primeiro grau. Você vai perceber que todos os dias nos deparamos com situações onde essa função se faz presente, e instintivamente, realizamos cálculos com ela. Através de alguns exemplos de aplicação da função polinomial do 1° grau, vamos levá-lo a compreender esse importante assunto:

   EXEMPLO 01: 

O custo da fabricação dos brincos de uma fábrica é dado pela função C(x) = 3x + 27, sendo x o número de brincos produzidos e C o custo em reais. Calcule: 

a) Qual o custo da fabricação de 200 brincos? 

Para calcular o custo da fabricação de 200 brincos devemos calcular C(200), ou seja: 

C(x) = 3x + 27 , e sendo x = 200, 

temos que C(200) = 3 . 200 + 27, 

isto é, C(200) = 600 + 27 = 627. 

Então, conclui-se que C(200) = 627. Logo, o custo é igual a R$ 627,00.  

b) E o custo da fabricação de 500 brincos? 

Para calcular o custo da fabricação de 500 brincos devemos calcular C(500), ou seja: 

substituir x = 500 na função dada: 

C(x) = 3x + 27. 

Então, teremos: C(500) = 3 . (500) + 27. 

Assim, C(500) = 1500 + 27. 

Conclui-se quem C(500) = 1527 Logo, o custo é igual a R$ 1.527,00.

       EXEMPLO 02: 

        Em uma sorveteria, o quilograma do sorvete é vendido a R$ 25,00, sendo que o cliente, após pesar o sorvete, pagando um acréscimo de R$ 3,00 pode acrescentar vários tipos de cobertura. Considerando x a quantidade de sorvete e y o valor a ser pago pelo sorvete, pede-se: 

a) Qual a função que define o valor a ser pago na compra do sorvete, levando-se em conta que não consumirá cobertura. 

b) Qual a função que define o valor a ser pago na compra do sorvete, incluindo a cobertura. 

c) Quanto pagarei se consumir 300 gramas de sorvete utilizando cobertura? 

d) Com R$8,00, quanto sorvete poderei comprar, se utilizar cobertura. 

       Resolução: 

Inicialmente, vamos construir uma tabela explicativa para o consumo de sorvete:

Peso	Valor pago com cobertura	Valor pago sem cobertura
1 Kg	25 . 1 + 3	25 . 1
2 Kg	25 . 2 + 3	25 . 2
0,5 Kg	25 . 0,5 + 3	25 . 0,5

       a) Basta multiplicar o preço do sorvete pela quantidade consumida, assim, teremos: y = 25.x 

       b) Análogo ao item anterior, o preço é dado pelo valor do quilo multiplicado pela quantidade consumida, porém, acrescido da taxa de R$3,00 da cobertura. Então, a função será dada por y = 25.x + 3 

       c) Observe que 300 gramas de sorvete pode ser representado por 0,3 Kg. Como a função é dada por y = 25x + 3, vamos substituir x = 0,3 na função. Então, temos que y = 25 . 0,3 + 3. Conclui-se que o valor a ser pago é de R$ 10,50. 

       d) Neste caso temos o valor a ser pago e precisamos calcular a quantidade. Como y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. Você se lembra como faz essa conta? Vamos relembrar!! 

      1°) y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. 

      2°) Subtraindo 3 de cada membro teremos: 

8 – 3 = 25x +3 ─ 3, 

5 = 25x 

X = 5/25 = 02  

Conclui-se que x = 0,2 Kg = 200 gramas de sorvete. 

       OBSERVAÇÃO:

       Nas funções polinomiais do primeiro grau, quando b = 0, teremos a chamada função linear. Observe ainda que essa função é um caso típico de proporcionalidade, pois dependendo do sentido dessa função (crescente ou decrescente) teremos grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Exercícios de fixação

         01. O custo de fabricação dos carrinhos de brinquedo de uma fábrica está relacionado com a quantidade de carrinhos de acordo com a função C(x) = 2,5x + 50, calcule: 

a) O custo de fabricação de 50 carrinhos; 

b) O custo de fabricação de 80 carrinhos. 

       02. O lucro de um artesão em função do número de peças vendidas é dado pela função L(x) = 6x - 3000. Pede-se: 

a) O número mínimo de peças vendidas para que não haja prejuízo é igual a: 

b) Qual o lucro para a venda de 250 peças? 

       03. Paulo recebe mensalmente R$ 2.000,00 fixos e mais R$ 100,00 por cada coleção de livros que ele vender. Seja x a quantidade de coleções de livros vendidas por Paulo e y o salário total que Paulo irá receber. Qual a função que representa o salário final de Paulo. 

       04. Em um restaurante, foi feita uma pesquisa para saber o custo na produção do alimento

Quantidade de Refeições	Custo
0	500
50	650
100	800
150	950

             Baseado nesta tabela, responda às questões: 

a) Qual o custo do restaurante caso não tenha produção de refeições? 

b) Escreva a função que define o custo do restaurante. 

1ª AULA DO 2º BIMESTRE

Função polinomial do primeiro grau

           Nas aulas anteriores, estudamos o que é uma função. Aprendemos também a representar o gráfico de diferentes tipos de funções. No universo matemático, existem algumas funções que, por sua contínua utilização no dia a dia, recebem um tratamento especial, isto é, são estudadas com maior profundidade.
           Nesta aula, vamos aprender um pouco sobre uma destas funções. É a chamada função polinomial do 1° grau, também conhecida como função afim.

           Esperamos que seja muito divertido e instrutivo para você. Bom estudo.

 1 ─ FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU:
 
          Denotamos função polinomial do 1º grau ou função afim a toda função do tipo:
                                 
                                                F (x) = a x + b , com a diferente 0.

          Você deve estar se perguntando por que a tem de ser diferente de zero? A resposta é simples!
          Note que se a = 0 temos y = 0 . x + b ,ou seja, y = 0 + b. Neste caso, anularíamos a variável e ficaríamos apenas com a parte constante: y = b. A função deixa de ser polinomial do primeiro grau, e passa a ser uma função constante.
                       
                            Observe os exemplos:
             
                              a) f(x) = 2x – 3,      ( a = 2 e b = - 3)
                              b) f(x) = - 5x + 2 ,  ( a = - 5 e b = 2)
                              c) f(x)= - x ,            ( a = - 1 e b = 0)

         É muito comum representar uma função do 1º grau por: y = a x + b.

         Para cada valor de x, a função assume um valor y ou f(x), então podemos escrever um par ordenado como (x, y) ou (x, f(x)). Este par ordenado representa um ponto no plano cartesiano (x, y). Então usamos a notação f(x) = Y. Exemplos:

a) f(x) = 2x - 3                  y = 2x - 3 ,

b) f(x) = ─ 5x + 2             y = -5x + 2

O domínio e a imagem desta função são números Reais, isto é, podemos atribuir qualquer valor Real para x e, automaticamente, será encontrado um valor Real para y.
        É interessante atentar para o fato do crescimento e decrescimento nesta função. O valor de y depende exclusivamente do valor atribuído a x, sendo assim, esta função permite modelar situações tanto de crescimento como de decrescimento proporcional. Vamos analisar alguns exemplos para que você compreenda melhor!

            EXEMPLO 01:
         Um taxista cobra por corrida R$10,00 Reais (bandeirada) e mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Qual a função que representa uma corrida com este taxista?

Resolução:
         É evidente que a cada quilômetro percorrido, o taxímetro marcará mais R$1,50.
         Veja a tabela:


                     Km percorrido                 Preço
                              1                         10 + 1 . 1,50
                              2                         10 + 2 . 1,50
                              5                         10 + 5 . 1,50
                             X                         10 + x . 1,50

          Analisando a tabela, é possível perceber que a função será dada por f(x) = 1,50x + 10, onde f(x) é o valor a ser pago e x a quantidade de quilômetros percorridos. Temos então uma função polinomial do primeiro grau, onde a = 1,50 e b = 10.

             Agora que tal exercitar um pouco?

         01. Escreva três exemplos de situações reais que podem ser modeladas através de uma função polinomial do 1° grau.



         02. De acordo com a definição, uma função polinomial é representada por: f(x) = ax + b, com a diferente 0. Escreva as seguintes funções dados a e b:

a) a = 2, b = 3.

b) a = -1, b = 5.

c) a = 0, b = -3.

d) a = -2, b = -7.

       03. Dadas as funções, identifique o valor de a e b:

a) f(x) = 2x – 5.

b) y = -x + ½

c) y = 1 – x

     04. Dadas as funções a seguir, defina quais são funções afim. Justifique suas respostas:

a) y = x – 7.

b) f(x) = - 3.

c) f(x) = 8.    

    05. Dada a função f(x) = 2x - 3, determine:

a) f(1)

b) f(-1)

c) f(0)

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Aula 6: Lei de Formação da Função Através de Enunciados.

 Lei de Formação da Função Através de Enunciados. 

  Definimos como Lei de Formação uma maneira intuitiva de associar o valor de x a um único valor de y ou f(x) através de uma expressão algébrica. Com isso, podemos escrever uma função matemática.
  Nessa aula queremos que você desenvolva essa intuição e aprenda a escrever a lei de formação da função através de enunciados.

Veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1:
Uma empresa que vende calçados paga os funcionários da seguinte forma: um salário fixo de R$ 500,00, mais R$ 2,00 por par de calçados vendidos. Quanto vai receber o funcionário que vender 10 calçados?  

  Para saber qual será o valor do salário de seu funcionário, a empresa faz o seguinte cálculo: 10 calçados = R$ 20,00, mais o salário fixo de R$ 500,00 é igual a R$ 520,00. Se forem vendidos 10 calçados, o funcionário receberá R$ 520,00.

Exemplo 2: 
A tarifa de táxi no Rio de Janeiro é formada por: R$ 3,50 a bandeirada, mais R$ 1,70 por km rodado. Então, determine:   

a) Qual é a lei de formação que define qualquer corrida de táxi no Rio de janeiro? 

  Podemos obter a lei de formação deste exemplo de forma similar ao exemplo 1.  Neste caso a lei de formação será: Y = 3,5 + 1,7x, onde y é o valor total a pagar, e x é a quantidade de quilômetros rodados.

b) Se uma pessoa pegou o táxi e percorreu 20 km, quanto ela pagará? 

  Substituindo o valor de x por 20 km na lei de formação: Y = 3,5 + 1,7x, teremos:
Y = 3,5 + 1,7.(20) = 3,5 + 34 = 37,5. Logo, ele pagará R$ 37,50.  

c) Se uma pessoa pagou R$ 20,50 em uma corrida, quantos km ela percorreu? 

  Substituindo o valor de y, que é o valor pago pela corrida, vamos ter a seguinte expressão:

Y = 3,5 + 1,7x

20,5 = 3,5 + 1,7x

1,7x = 20,5 – 3,5

1,7x = 17

X = 17/ 1,7

X = 10 km

Exemplo 3: 
Um posto de gasolina da cidade do Rio de Janeiro cobra em média o preço de R$ 2,99 por litro de gasolina. Com base nessas informações, responda:  

 

a) Como podemos escrever a função matemática que representa essa situação?   

  Y = 2,99x, donde y é o valor total pago pela gasolina e x é o total de litros comprados.

b) Quanto um motorista irá gastar se ele colocar em seu carro 40 litros de combustível?  

 Como já vimos no item anterior, temos que Y = 2,99x. Então, substituindo o valor de x, que é a quantidade de litros comprados, por 40, temos:

Y = 2,99.(40)

Y = 119,6

Esse é o valor a ser pago pela gasolina comprada.

c) Quantos litros de combustível um motorista colocou em seu carro se ele gastou apenas R$ 60,00? 

Sabendo que Y = 2,99x e substituindo o valor de y, que é o preço pago pela gasolina, temos:

60 = 2,99x

X = 60/2,99

X = 20,06 litros.  

Agora temos de verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e, em caso de dúvidas, retorne aos exemplos.  

Exercícios 

1- Em uma cidade, você pode alugar um carro por R$ 100,00 por dia, mais R$ 5,00 por km rodado. Dadas as informações, responda:

a) Qual é a função que descreve o aluguel do carro em um dia?  

b) Qual o preço pago por uma pessoa que percorreu 12 km em um dia?  

2- Uma operadora de celular cobra R$ 30,00 por mês pela assinatura, mais R$ 0,20 por minuto. Responda:  

a) Qual é a função descrita a cada mês? 

Na função acima, vemos uma empresa que cobra 30 reais de assinatura mais 0,20 por minuto falado.

b) Quanto gastou uma pessoa que usou 30 minutos? 

 

c) Se um cliente pagou R$ 50,00 na conta, quantos minutos foram usados? 

3- Uma locadora de filmes calcula o preço cobrado usando a seguinte fórmula: P = 3 + 1,2x, onde P é o preço a ser cobrado e x é o número de filmes alugados:

  

a) Qual é o preço a ser pago pelo cliente que alugou 5 filmes?   

b) Quantos filmes alugou uma pessoa que pagou R$ 5,40?  

4- Um posto de gasolina da rodovia está cobrando R$ 2,87 por litro de gasolina. 

Responda:  

a) Quanto irá pagar um motorista que colocou 30 litros de gasolina?  

b) Quantos litros de gasolina o motorista colocou em seu carro se ele pagou R$ 57,00?  

c) Escreva a função descrita no enunciado acima.  

5- Considere um restaurante que possui um preço fixo, para todos os seus pratos, no valor de           R$ 12,50, independentemente da quantidade servida. No entanto, cada porção x de sobremesa custa R$ 4,00. Das alternativas a seguir, qual melhor representa o gasto total y de um prato acompanhado de sobremesa nesse restaurante: 

(A) y = 4 + 12,5x 

(B) y = 12,5 + 4x 

(C) y = 16,5x 

(D) y = 4x + 12,5x 

(E) y = 12,9x 

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Trabalho valendo 3 PONTOS para 1003 e 1004

C.E. São Cristóvão
	Alunos(as) :					Nº
	Turma:	Ano: 1º	Turno: Tarde	Data:
	Professor: Leandro Ribeiro Trabalho		Disciplina:   Matemática Bimestre:  1º		Nota:

•  

• Todas as questões devem ter cálculos.
• Em dupla ou individual
• Pode imprimir ou copiar
• Entregar no dia 20/03/2015

 

1- Dado os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 5, 6}, C = {4, 5, 6, 7} e D = {0, 1, 5, 6, 7}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).

a) A  pertence  B   (   )         

b) C  não pertence  A   (   )

c) B  pertence  D   (   )

d) A  pertence  N^* (   )

2- Dado os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6}, determine:

a) A – B =

b) B – C =

c) A – C =

d) B – A =

3- Dado os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g }, B = { b, d, g, h, i } e C = { e, f, m, n, }, determine:

a) A U B  =

b) A  intersecção C  =

c) A U B  =

d) B  intersecção C  =

e) ( A U B) intersecção C =

4- Considere a função para a qual A = {1, 3, 4}, B = {3, 9, 12, 15, 18} e g (x) é o triplo de x, para todo.

a) construa o diagrama de flechas da função.

b) determine D (g), CD (g) e Im (g)

c) determine g (3)

5- Calcule o valor da expressão: 

6-  Calcule o valor da expressão:

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Aula 5 - Plano Cartesiano 1003 e 1004 "São Cristóvão"

Plano Cartesiano

Caro aluno, nesta atividade iremos conhecer o Plano Cartesiano. O Plano recebe este nome em homenagem ao seu criador, o matemático René Descartes.  De acordo com este famoso matemático, podemos definir o plano cartesiano da seguinte forma: 

O plano cartesiano é formado por duas retas

perpendiculares, uma horizontal que recebe 

o nome de eixo das abscissas (eixo x) e uma 

reta vertical que recebe o nome de eixo das 

ordenadas (eixo y). Cada reta é numerada, 

sendo o ponto de interseção dessas duas 

retas chamado origem. 

      

PLANO CARTESIANO:  

 A figura a seguir representa um plano cartesiano. Note que temos uma reta horizontal designada eixo das abscissas, ou eixo X, e uma reta vertical chamada eixo das ordenadas, ou eixo Y. Cada eixo é formado por números positivos e negativos, tendo o zero ao centro. 

Observe:  

                                        

Você pode observar que o Plano Cartesiano divide-se em quatro partes, que 

chamaremos de quadrantes: 

                                 

Para representar um ponto no Plano Cartesiano, iremos utilizar a seguinte representação A (x, y). Isto significa que o ponto A se localiza na direção (x, y). Observe o exemplo abaixo:

                                          

Perceba que o ponto A tem as coordenadas (- 2, 3), ou seja,  x = - 2  e  y = 3. Ainda sobre a localização das coordenadas no Plano Cartesiano, é importante ressaltar algumas observações: 

  

1. O ponto (3, 4) é diferente do ponto (4, 3). Não se esqueça!! O primeiro valor se refere ao eixo x e o segundo ao eixo y. 

2. O ponto (0,3) será representado exatamente sobre o ponto y = 3, no eixo y.  

EXEMPLO 01: 

Dado o plano cartesiano, observe os pares ordenados representados:  

                           

                 A (3,6)                  B (2,3)                   C (-1,2)                     D (-5,-3) 

                              E (2,-4)                  F (3,0)                       G (0,5)  

Exercícios

Agora que já sabemos representar as coordenadas no Plano Cartesiano, vamos exercitar nossos conhecimentos.  

01. Identifique cada uma das Coordenadas de cada ponto abaixo:  

A ( 10 , 5 )         B ( - 3 , 0 )        C (4 , 4 ) 

D ( - 3 , - 3)        E ( 6 , 12 )        F ( 8 , - 10 ) 

G ( 0 , - 8 )         H ( 0 , 0 )   

03. Represente os números nos eixos x e y e localize no Plano Cartesiano as coordenadas abaixo:  

 A (-2, 4)        B (5, -1)            C (0, 5)             D (3, 0)                                                                            E (-7, - 8)      F (10, 0)            G (0, 0)             H (½, 3)             

Aula 4 - Conjunto dos números irracionais 1003 e 1004 "São Cristóvão"

NÚMEROS IRRACIONAIS

 Assim como existem números decimais que podem ser escritos como frações, 

ou seja, o conjunto dos números racionais que acabamos de estudar, existem, 

também, números que não admitem representação fracionária. Trata-se dos números 

decimais não exatos que possuem representação infinita não periódica, chamado conjunto dos números irracionais i.

Vejamos alguns exemplos:

1,203040...               √2  = 1,4142135...              √3  = 1,7320508...         PI = 3,141592...  

PROPRIEDADE DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: 

Para compreendermos um pouco mais sobre o conjuntos dos números irracionais, vamos apresentar a seguir algumas propriedades muito utilizadas nos cálculos que envolvem os elementos deste conjunto. Observe:  

PROPRIEDADE 1:  

A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.

                                         1 + √2  = 2, 4142135... 

PROPRIEDADE 2:  

A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é 

um número irracional.  

PROPRIEDADE 3:  

O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número 

irracional. 

                                         2 . √3  = 3,464101... 

PROPRIEDADE  4:  

O quociente de um número racional não nulo por um número irracional é um número 

irracional. 

                                         12 : √6  = 4, 898979...   

O NÚMERO PI (π):  

O número irracional pi (  = 3,141592...) está presente em todos os lugares do nosso cotidiano. O movimento das ondas em uma praia, o aparente trajeto diário das estrelas no céu, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos, entre outros fatos curiosos, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ele é uma das constantes universais da Matemática. 

Exercícios

01. Assinale a afirmação falsa.  

(A) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. 

(B) A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. 

(C) A somo de dois números racionais quaisquer é um número racional. 

(D) A soma de dois números irracionais quaisquer é um número irracional.  

02. Assinale o número irracional:  

(A) 0,7 

(B) 0,77 

(C) 0,77555... 

(D) 0,71727374...    

03. A fração que equivale a um número decimal não exato é:  

(A) 7 / 8  

  

(B) 4 / 25 

   

(C) 5 / 6

  

(D) 33 / 40

      

04. Assinale a afirmação verdadeira:  

(A) 0,313131... é um número natural. 

(B) 5, 47 é um número inteiro. 

(C) 5, 171717... é um número irracional. 

(D) 4, 262626... é um número racional. 

Aula 3 - Conjunto dos números racionais '1003 e 1004 do são Cristóvão'

NÚMEROS  RACIONAIS

Nesta aula iremos estudar os números racionais. Indicaremos por números racionais (Q ) todo aquele que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros, sendo o segundo não nulo, ou seja, todo número que possa ser escrito em forma de fração, desde que o denominador não seja 0 (zero). 

Exemplos:

5 =  5 / 1                0,3 = 3 / 10                 4,1387 = 41387 / 10 000                0,777... = 7 / 9 

   

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DAS FRAÇÕES:  

Quando temos um número racional e queremos escrevê-lo na forma decimal, devemos efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Com essa operação podemos obter dois casos:  

CASO 1: O número decimal obtido possui, após a vírgula, uma quantidade finita de algarismos. São os chamados decimais exatos.   

2 : 5 = 0,4  

  

  

CASO 2: O número decimal obtido possui uma infinidade de algarismos após a vírgula. São os chamados decimais periódicos ou dízimas periódicas.  

     

7 : 9 = 0,7777777...

  

 O conjunto Q  também faz parte de nossas vidas. Muitas vezes, quando vamos ao mercado, encontramos decimais exatos para determinar preços de algumas mercadorias.   

 Outra boa aplicação para o decimal exato é a tarifa de ônibus, que é composta por uma parte inteira e duas casas decimais.   

OPERAÇÕES EM Q: 

No conjunto dos números racionais, são válidas as operações de adição e multiplicação que apresentamos para os inteiros e a propriedade: 

PROPRIEDADE 9: Todo número racional diferente de zero possui um elemento inverso. 

O inverso do número 3 é o número 1 / 3. 

 . 

  Assim como representamos os números naturais e inteiros na reta numérica, também podemos representar os números racionais. Para marcar um ponto entre os números 0 e 3 em uma reta dos números inteiros. 

   1°PASSO: Desenhamos a reta dos números inteiros e localizamos o número 2,5. Podemos ver que o número encontrado localiza-se na metade da distância entre os números 2 e 3, tendo, assim, uma representação geométrica para o conjunto dos números racionais.  

 Logo, temos que, entre dois números racionais quaisquer, é possível encontrar um número racional.     

Exercícios

01. Escreva os números racionais abaixo na sua representação decimal.  

a) 7 / 10  =  ___________ 

b) 37 / 1000 = ___________ 

c) -8 / 5 = ___________ 

d) 5 / 3 = ___________ 

e)  - 41 / 25 = ___________  

02. Responda: 

a) Qual número que, somado a 3 / 4, é igual a zero?  ___________________ 

b) Qual número que, somado a 4 / 5, é igual a 8 / 10? ______________________ 

c) Qual número que, multiplicado por 3 / 5, é igual a 1? __________________  

03. Desenhe uma reta em relação a cada item e localize: 

a) Os pontos que representam os números inteiros de -5 a 5.  

b) Os números racionais 1 / 2, - 3 / 5, 1,5, -3,5 , 7 / 10 ,- 7 / 10 e 1 / 9.  

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Os 10 melhores sites de Matemática do Brasil

Os 10 melhores sites de Matemática do Brasil:

Para os sites, nosso critério de escolha leva em consideração 5 tópicos que julgamos serem imprescindíveis e que atribuímos uma nota de zero a dez. Após a tabela, segue a descrição do que foi avaliado em cada tópico.

Para o InfoEnem, esses são os 10 melhores sites de Matemática.

Site	conteúdo	navegação	aparência	Interatividade	atualização
www.somatematica.com.br	10	10	9	9	9
www.matematiques.com.br	9	10	9	9	9
matematica.com.br/site	8	8	9	8	8
www.matematicamuitofacil.com	10	9	8	9	9
ginasiomental.com	8	9	9	9	9
www.estudarmatematica.com.br	9	9	8	8	8
www.matematica.br	9	9	7	8	8
www.brasilescola.com/matematica	9	8	8	7	8
professorwaltertadeu.mat.br	9	8	7	9	9
www.mundovestibular.com.br /Matematica	8	8	8	7	7

• Conteúdo: diz respeito a quantidade e qualidade de todo o material oferecido pelo site,  como listas de exercícios, dicas, curiosidades etc.
• Navegação: tem relação com a divisão e disposição do conteúdo no site, além da velocidade com que as páginas abrem. Quanto mais fácil e rapidamente você encontrar o que procura em um site/blog, melhor sua navegação.
• Aparência: consiste na organização da página, como cores utilizadas, quantidade de anúncios de publicidade, logotipo (se houver), disposição do cabeçalho, corpo e rodapé.
• Interatividade: envolve a parte do conteúdo que promova maior entretenimento, como jogos, vídeo aulas, apresentações com animações etc.
• Atualizações: neste tópico consideramos a frequência com que os sites publicam notícias e artigos, assim como atualizam dados de suas páginas.

Aula 2 - Conjunto dos números inteiros 1003 e 1004 "São Cristóvão"

Operações com números Naturais e Inteiros

Agora que já sabemos como os números naturais e inteiros são importantes em nosso dia a dia, é fácil compreender  a importância de estudá-los! Nesta aula, iremos aprender a realizar algumas operações com estes conjuntos.  

OPERAÇÕES EM  :  

No conjunto dos números naturais, são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação, ou seja, sempre que somarmos ou multiplicarmos dois números naturais, o resultado será um número natural. Neste conjunto são válidas as seguintes propriedades: 

PROPRIEDADE 1:  Associativa da adição. 

(2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) 

PROPRIEDADE 2:  Comutativa da adição. 

2 + 3 = 3 + 2 

PROPRIEDADE 3: Elemento neutro da adição. 

5 + 0 = 5 

PROPRIEDADE 4: Associativa da multiplicação. 

(2 . 5) . 7 = 2 . (5 . 7) 

PROPRIEDADE 5: Comutativa da multiplicação. 

2 . 3 = 3 . 2 

PROPRIEDADE 6: Elemento neutro da multiplicação. 

5 . 1 = 5 

PROPRIEDADE 7: Distributiva da multiplicação relativamente à adição. 

2 . (5 + 7) = 2 . 5 + 2 . 7   

Repare que o elemento neutro 

para a adição é o número 0 e,

para a multiplicação, é o número 1. 

 

OPERAÇÕES EM Z:  

No conjunto dos números inteiros, são válidas as operações de adição e multiplicação que apresentamos para os naturais e a propriedade: 

PROPRIEDADE 8: Simétrico ou oposto para a adição. 

5 + (-5) = 0 

Não vamos esquecer! Para adicionar números negativos, nós adicionamos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal negativo. Podemos, assim, interpretar como em uma soma de dívidas. Observe o exemplo abaixo:        

    

BANCO XXXX         EXTRATO DE CONTA CORRENTE 

AGÊNCIA 0000        DATA: 20/ 06/ 2013      HORA 13:00 

CONTA 00000 - 0       DONO DA CONTA 

DATA                           HISTÓRICO                        VALOR 

---------------------------JUNHO/2013--------------------------- 

01            SALDO                                                        - 90,00 

05            SAQUE                                                        - 10,00 

06            SALDO                                                      - 100,00 

 

Observe que -90 + (-10) = -100. 

Para adicionar um número positivo com um negativo, nós subtraímos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. Caso sejam números opostos, a soma é zero.  

 *(+50)  +  (-40)  =  50  -  40  =  + 10 (O resultado apresenta sinal positivo, pois o número de maior valor é +50)  

*(- 600)  +  (+100)  =  - 600  +  100  =  - 500 (O resultado apresenta sinal negativo, pois o número de maior valor é - 500)  

*(+10) + (-10) = 0 

 

Agora, veremos como operar as multiplicações ou divisões. A regra é muito simples, pois, para multiplicar números com sinais opostos, multiplicamos os valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal negativo. E, para números com sinais iguais, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto sinal positivo.  

  

SINAIS                                                      RESULTADO PARA

                                                        MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO 

   +        +                                        +

   -         -                                         + 

   +        -                                          -

   -         +                                         -

  

DIVISIBILIDADE: 

Dizemos que um inteiro a é divisor do inteiro b, quando existe um inteiro c tal que c.a = b. 

Exemplo: 

                                           2 é divisor de 12, pois 6 . 2 = 12    

Exercícios

01 - Complete cada sentença abaixo com um número x para que estejam de acordo com  as propriedades estudadas. 

a)  Comutativa da adição. 

x + 8 = 8 + 2           X = ________  

b) Comutativa da adição. 

x + 8 = 8 + x    X = ________ 

c) Distributiva da multiplicação relativamente à adição.  

3 . (7 + x) = 3 . 7 + 3 . 5          X = ________ 

d) Associativa da multiplicação. 

(2 . 3) . x = 2 . (3 . 7)               X = ________ 

  

02. Um carro com 4 passageiros fez um percurso passando por quatro bairros. No primeiro, desceram 2 passageiros e subiu 1; no segundo, subiu 1 e desceram 3; no terceiro, subiram 2;  no quarto bairro, desceram 2 passageiros e subiu 1.  

Atividade 2   

  

a) Escreva uma expressão numérica que represente essa movimentação de subida e descida de passageiros, utilizando o sinal positivo para o número de passageiros que sobem e o sinal negativo para o número de passageiros que descem. 

_______________________________________________________________________ 

b) Calcule quantos passageiros continuam no carro após passar pelo último bairro. 

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________  

03. Uma prova é composta por 50 questões. Cada resposta certa vale (+8) pontos, cada resposta errada vale (-2) pontos e cada resposta em branco vale 0 ponto. Um aluno que acerta 18 questões e deixa 12 em branco obtém que nota? 

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________  

04. Cada expressão abaixo tem como resultado um número inteiro. Determine o valor de cada item: 

a) 12 - 8 : 4 + 16 : (- 8) =  

b) (-1) . 5 + 5 : (-5) - (-4) =   

05. Considere dois números inteiros a e b, positivos. Determine se o resultado das operações abaixo é maior, menor ou igual a zero. 

a) a . b  

b) a . (-b) 

c) (- a) . b 

d) (-a) . (-b) 

e) - (-a) . b 

f) - (-a) . (-b) 

Aula1 - Conjunto dos números naturais 1003 e 1004 "São Cristóvão"

AULA 1- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Caro aluno, nesta aula você estudará sobre os conjuntos dos números naturais e dos inteiros. O surgimento desses conjuntos deveu-se a necessidade do homem de contar objetos. Porém, outras necessidades, sendo práticas ou teóricas, levaram ao desenvolvimento de outros tipos de conjuntos. Em Matemática, é usual classificar os números em categorias, como veremos a seguir. 

1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: 

Indicaremos por N o conjunto dos números naturais e por N* o conjunto dos números naturais não nulos, ou seja, excluindo o elemento 0 (zero) do conjunto.  

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}                             N* = {1, 2, 3, 4, ...}

 Vamos observar os números que aparecem nas frases a seguir:

a) Maria comeu 3 pedaços de uma torta de maçã.

b) A costureira comprou 4 m de pano florido.

c) Em Porto Alegre a temperatura atingiu 12 °C.

 Nestas frases, podemos ver a utilização que fazemos dos números naturais, todos os dias, sem perceber, sempre representando quantidades. Assim é desde os primórdios da nossa civilização.
 No conjunto N é possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam em um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é possível, como, por exemplo:
3 - 7 = ?    

Números Naturais e Inteiros 

Qualquer número natural tem um único sucessor. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. O zero é o único natural que não é sucessor de nenhum outro.
  O conjunto dos números naturais possui infinitos elementos e pode ser representado por uma reta numerada parecida com uma régua.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: 

Denominamos conjunto dos números inteiros (e indicamos por Z) o conjunto:
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Em Z é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois inteiros resultam em um número inteiro. Entretanto, a divisão de dois inteiros nem sempre resulta em um número inteiro, a saber:
20 : 7 = ?    
 
Utilizamos os números inteiros para realizar várias atividades simples, como o cálculo do saldo bancário. Quando fazemos um depósito, significa que o saldo aumenta. Quando é feita uma retirada (saque), o saldo diminui.

Exemplo:

BANCO XXXX                  EXTRATO DE CONTA CORRENTE
AGÊNCIA 0000        DATA: 15/ 01/ 2013      HORA 13:00
CONTA 00000 - 0       DONO DA CONTA
DATA                           HISTÓRICO                        VALOR
---------------------------JANEIRO/2013---------------------------
01          SALDO                                                          100,00
05          DEPÓSITO                                                      50,00
06          SALDO                                                          150,00  
08          SAQUE                                                            90,00  
09          SALDO                                                            60,00
BANCO XXXX       EXTRATO DE CONTA CORRENTE
AGÊNCIA 0000        DATA: 20/ 03/ 2013      HORA 13:00
CONTA 00000 - 0       DONO DA CONTA
DATA                           HISTÓRICO                        VALOR
---------------------------MARÇO/2013---------------------------
01            SALDO                                                          50,00
05            DEPÓSITO                                                    50,00
06            SALDO                                                        100,00  
08            SAQUE                                                        140,00  
09            SALDO                                                         -40,00
Números positivos Números negativos

Exercícios

01. José foi ao restaurante com R$ 30,00 na carteira querendo uma refeição completa, 

que deve conter uma salada, um prato principal, uma bebida e uma sobremesa. Dê exemplos de possibilidades de refeições completas que José poderá pagar.        

02. Classifique as afirmações abaixo em certas ou erradas. 

a) (     ) Todo número natural tem um antecessor em N   

b) (     ) Todo número inteiro tem um antecessor em Z

c) (     ) Todo número natural tem sucessor em N

d) (     ) Todo número inteiro tem um sucessor em Z   

e) (     ) Existe um número natural que é maior que todos os demais. 

f) (     ) Existe um número natural que é menor que todos os demais. 

g) (     ) Existe um número inteiro que é maior que os demais. 

h) (     ) Existe um número inteiro que é menor que os demais.  

03. Escreva o conjunto expresso pela propriedade: 

a) x é um número natural ímpar. 

b) x é um número inteiro menor do que 8. 

c) x é um número natural múltiplo de 6 e menor do que 40. 

d) x é um número inteiro tal que x² - 25 = 0.  

05- Dado os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 5, 6}, C = {4, 5, 6, 7} e D = {0, 1, 5, 6, 7}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).

a) A  pertence  B   (   )         

b) C  não pertence  A   (   )

c) B  pertence  D   (   )

d) A  pertence  N^* (   )

06- Dado os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6}, determine:

a) A – B =

b) B – C =

c) A – C =

d) B – A =

07- Dado os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g }, B = { b, d, g, h, i } e C = { e, f, m, n, }, determine:

a) A U B  =

b) A  intersecção C  =

c) A U B  =

d) B  intersecção C  =

e) ( A U B) intersecção C =

f) ( B intersecção C) U A =